مبحث اول: مدلسازي

همان‌طور كه مي‌دانيم متغيرهاي (xj) از يك برنامه‌ريزي خطي نيز پيوسته بوده و مي‌توانند داراي ارزشهاي كسري بشوند (يعني آن كه اين متغيرها داراي خاصيت تقسيم‌پذيري مي‌باشند) به طور مثال ارزش متغيرx₁ازn متغير در يك برنامه‌ريزي خطي ممكن است برابر با 75/3 (75/3=x₁) باشد. لكن متغيرهاي يك برنامه‌ريزي با اعداد صحيح ممكن است همگي يا تعداي از آنها نيز گسسته بوده و داراي خاصيت تقسيم‌پذيري نباشند، به طور مثال ارزش متغيرx₁(چنانچه مثلاً نشان‌دهنده مقدار توليد اتومبيل در يك برنامه‌ريزي باشد) نيز نمي‌تواند كسري شود زيرا توليد 75/3 اتومبيل بدون معني خواهد بود و اجباراً ارزش آن بايد مثلاً برابر با 4 اتومبيل گردد. در اينجا ممكن است گفته شود كه مي‌توان ارزش كسري موجود براي يك متغير را (در يك راه حل نهايي) نيز گرد نمود و آن را برابر با نزديكترين عدد صحيح به آن فرض كرد (مثلاً مي‌توان ارزش 75/3=x₁را برابر با عدد صحيح 4 فرض نمود.) لكن روش گرد كردن ارزشهاي اپتيموم و كسري موجود براي يك مسئله متأسفانه در اكثر موارد حتي نمي‌تواند تقريب نزديكي را براي ارزشهاي اپتيموم آن مسئله با اعداد صحيح نيز نشان دهد.

در اينجا مناسب است كه ابتدا تعاريفي را مربوط به برنامه‌ريزي با اعداد صحيح مورد توجه قرار دهيم:

تعريف 1: يك متغير گسسته (xj) نيز متغيري است كه ارزش آن در يك راه حل عملي بايد برابر با يك عدد صحيح غير منفي بشود.

تعريف 2: يك متغير پيوسته (xj) نيز متغيري است كه ارزش آن در يك راه حل عملي، بتواند برابر با هر عدد حقيقي غير منفي بشود.

تعريف 3: اگر كليه متغيرهاي يك برنامه مفروض نيز گسسته باشند،‌آن برنامه را به نام يك برنامه كامل با اعداد صحيح مي‌خوانند.

تعريف 4: اگر برخي از متعيرهاي يك برنامه مفروض گسسته و بقيه متغيرهاي آن نيز پيوسته باشند،‌آن برنامه را به نام يك برنامه مخلوط با اعداد صحيح مي‌خوانند.

تعريف 5: يك راه حل اپتيموم كسري براي يك برنامه‌ريزي با اعداد صحيح نيز راه حلي است كه صحيح بودن ارزش متغيرهاي مسئله (يعني گسسته بودن آنها) در آن راه حل ناديده گرفته شده است.

تكنيك‌هاي پيشرفته براي حل اين‌گونه مسائل داشته‌اند اين‌گونه برنامه‌ريزي را از نظر مدلسازي مي‌توان به دو تعريف 6: يك راه حل اپتيموم صحيح براي يك برنامه‌ريزي با اعداد صحيح نيز راه حلي است كه گسسته بودن متغيرهاي مسئله در آن راه حل رعايت شده است و بنابراين بهعنوان مناسب‌ترين راه حل به شمار خواهد رفت.

برنامه‌ريزي با اعداد صحيح داراي كاربرد متعدد در عمل بوده و بدين علت محققين بسياري طي 20 سال اخير سعي بر توسعه دسته عمده (الف و ب) تقسيم نمود:

الف- مسائلي را كه مي‌توان عيناً مانند يك برنامه خطي عادي (LP) مدلسازي كرد و سپس محدوديت گسسته بودن برخي يا كليه متغيرهاي مسئله را به مدل مربوط به آن اضافه نمود. از نمونه اين مسائل مي‌توان پروژه‌هاي سرمايه‌اي و مسائل طرح و تخصيص منابع را نام برد.

ب- مسائلي را كه يا از نظر ماهيت با مسائل بند الف متفاوت بوده و يا آنكه محدوديتهاي موجود در آنها تشكيل يك مجموعه محدب را نمي‌دهند و يا آن كه تابع هدف براي آنها نيز غير خطي است و يا بالاخره داراي تركيبي از اين مشكلات مي‌باشند. مدلسازي اين گونه مسائل اكثراً نيازي به دقت كافي داشته و حل آنها مي‌تواند مشكل باشد.

در اينجا مثالهايي را از تقسيمات فوق ارائه مي‌دهيم.

الف- مثالهايي براي مدلسازي از نوع 1- برنامه‌ريزي خطي:

يك شركت ساختماني داراي قراردادي با شهرداري تهران است كه بر اساس آن بايد يك شهرك در حومه تهران بسازد. ساختمان اين شهرك در حال حاضر نزديك به اتمام است و شركت ساختماني در نظر دارد به منظور سرعت بخشيدن به انجام كارها چند نفر نجار اضافي به پرسنل موجود و مشغول به كار در شهرك اضافه نمايد. شركت ساختماني مي‌تواند چند نفر استخدام شده در شركت را به شهرك اعزام دارد و يا آنكه چند نفر نجار را از بازار آزاد به طور روزمزد اجير نمايد، هر نجاز استخدام شده در شركت به مدت 8 ساعت در روز كار كرده و موجب هزينه‌اي برابر با 50 تومان به ازاء هر روز كار براي شركت خواهد بود در حاليكه هر نجار روزمزد به مدت 5 ساعت در روز كار كرده و مبلغ 100 تومان به ازاء هر روز كار دريافت مي‌نمايد.

تصميم بر آن است كه حداكثر اضافه نجاري در اين شهرك از 20 ساعت كار در هر روز تجاوز ننموده و همچنين حداكثر هزينه اضافه حاصل از تخصيص نجاران اضافي از 300 تومان در روز تجاوز نكند.

تجزيه و تحليل بهره‌وري حاصل براي شركت نشان داده است كه بهره‌وري روزانه حاصل از كار هر نجار اضافي روزمزد برابر با 35 تومان براي شركت است و بهره‌وري روزانه حاصل از كار هر نجار اضافي استخدام شده نيز برابر با 39 تومان خواهد بود.

براي مشخص نمودن مناسب‌ترين تعداد نجار اضافي براي كار در اين شهرك، مفروضات زير را براي مدلسازي در نظر مي‌گيريم:

                    تعداد نجاران استخدام شده در شركت:X₁

                    تعداد نجاران روزمزد:X₂

مدل برنامه‌ريزي با اعداد صحيح براي ليت مسئله بدين قرار است:

(بهره‌وري حاصل از كار روزانه نجاران اضافي)MAX Z=39X₁+35X₂          

(محدوديت زمان)                                8X + 5X ≤ 20        : به شرطي كه

(محدوديت كارمزد)50X₁ + 100X₂ ≤ 300                            

              عدد صحيح و                       

ملاحظه مي‌شود كه مسئله فوق به صورت يك برنامه‌ريزي خطي نيز مدلسازي شده به انضمام آنكه شرط صحيح بودن ارزشهاي x₁،x₂ به آن مدل افزوده گرديده است.

2- مسأله كوله‌پشتي:

الف- كوه‌نوردي كه هر روز جمعه به كوه رفته و اقلام مورد احتياج را بايد در كوله‌پشتي خود انباشته نمايد نيز مصمم است كه مناسب‌ترين تركيب از اقلام موجود را با خود حمل كند به طوري كه بتواند بيشترين لذت را از كوه‌نوردي ببرد.

فرض نماييمn قلم اجناس مختلف نيز مورد احتياج كوه‌نورد است به طوري كه عامل jام داراي وزنa_j  (كيلو) بوده و كوه‌نورد نمي‌تواند بيش از 1 كيلوگرم با خود حمل كند. اگر مطلوبيت عامل jام براي كوه‌نورد برابر باu_j  باشد،‌مناسب‌ترين تركيب از اقلام را براي حمل مي‌توان از مدل زيرين به دست آورد:

اگر عامل jام براي حمل در كوله‌پشتي منظور شود 1=

                                                                   X_j (j= 1,2,…,n)

اگر عامل jام براي حمل منظور نشود                 0=

MAX Z = u₁x₁ + u₂x₂ + …. + u_jx_j + …. + u_nx_n                             

 a₁x₁ + a₂x₂ + …. + a_jx_j + ….. + a_nx_n ≤ 1             : به شرطي كه

x_j = 0 , 1                   (j= 1 , 2 , …. n)                      

اين برنامه با اعداد صحيح صفر و يك به نام مسئله ساك كوه‌نورد مشهور است.

اگر در مدل فوق خواسته شده باشد كه از عاملjامدر صورت امكان بيشتر از يك واحد براي حمل منظور شود. مي‌توان اين شرط را با گنجاندن محدوديت: عدد صحيح و x_j ≥ 0در برنامه فوق نيز تأمين نمود. به طور مثال اگر كوه‌نورد در مثال فوق مايل باشد كه از عامل سوم بيشتر از يك واحد حمل كند. مي‌توان اين خواسته را با اضافه كردن محدوديت: عدد صحيح و  x₃ ≥ 0به برنامه فوق نيز پاسخگو بود.

مدل كلي براي مسئله ساك كوه‌نورد به قرار زير است:

MAX Z =                                                         

                                                  : به شرطي كه

x_j = 0 , 1            (j = 1, 2, ….,n)                                                       

اهميت مسئله ساك كوه‌نورد در آن است كه تعدادي از مسائل را مي‌توان بر اساس آن مدلسازي نمود و همچنين حل اين مسئله توسط محققين مختلف موجب توسعه تكنيكهاي ويژه براي حل مسائل كلي با اعداد صحيح گرديده است.

ب- يك هواپيماي حمل و نقل از شركت هواپيمايي هما قادر است كه حداكثر 9000 كيلو محموله را حمل نمايد اخيراً پنج محموله با مشخصات موجود در صفحه بعد به شركت هواپيمايي براي حمل آنها به لندن پيشنهاد شده است.

براي قبول پيشنهاداتي كه موجب ماگزيمم سودآوري براي شركت هواپيمايي بشوند نيز به مدلسازي زير توجه مي‌نماييم:

اگر محموله jام براي حمل پذيرفته شود:   1=

                                                       X_j (j = 1, 2, ….,5)  

اگر محموله jام براي حمل پذيرفته نشود : 0= 

MAX Z = 2000x₁ + 1200x₂ + 4000x₃ + 2900x₄ + 7000x₅                        

 1500x₁ + 1000x₂ + 3000x₃ + 1900x₄ + 4500x₅ ≤ 9000      :به شرطي كه

X_j = 0 , 1           (j = 1,  2, …,5)                                       

ملاحظه مي‌گردد كه اين مسئله بر اساس برنامه ساك كوه‌نورد (مثال 3) نيز مدلسازي شده است.

3- فروشنده دروه‌گرد:

يكي از مسائل مشكل و عمده‌اي را كه ‌مي‌توان بر اساس برنامه‌ريزي با اعداد صحيح نيز مدلسازي نمود به نام مسئله فروشنده سيار شهرت دارد.

فرض نماييم يك فروشنده سيار بايد از تهران حركت كرده و بعد از انجام مأموريت خود در چند شهرستان به تهران برگردد. فروشنده بايد مسير مسافرت خود را به شهرستانهاي مختلف به نحوي مشخص نمايد كه با حداقل هزينه ممكن يا در حداقل زمان ممكن دو مرتبه به تهران مراجعت نمايد.

تعداد مسيرهاي مسافرت در صورتي كه فروشنده فقط به يك شهرستان عزيمت نمايد برابر با دو مسير خواهد بود (يعني مسيرهاي رفت و برگشت) و در صورتي كه به دو شهرستان مسافرت نمايد برابر با شش مسير است. به طور كلي مسيرهاي مسافرت در صورتي كه فروشنده بهn-1شهرستان مسافرت نمايد برابر خواهد بود با:

n! = 1× 2 × …..× (n-1) (n)                                                                                       

بنابراين مسيرهاي مسافرت چنانچه فروشنده بخواهد به 9 شهرستان مسافرت نمايد نيز برابر است با:

                                                                                                مسير: 800، 628، 3 = !10

ملاحظه مي‌شود كه مشخص نمودن مناسب‌ترين مسير مسافرت بهn  نقطه از بينn!مسير ممكن بسيار مشكل خواهد بود.

مسئله فروشنده سيار را ممكن است به صورت زير مدلسازي نمود.C_i.j  نشان‌دهنده هزينه يا زمان مسافرت از شهر iام به شهر jام است:

اگر فروشنده از شهر iام به شهر jام مسافرت نمايد: 1=

                                                                      x_i.j

اگر فروشنده ازiبهjمسافرت نمايد:                           =0             

Min C =                                                           

            1, 2, ….,n)(j =                                : به شرطي كه

             (i= 1, 2, ….,n)                             

ملاحظه مي‌شود كه اين مدل نيز يك مدل تخصيص منابع است و فروشنده بايد فقط يك مرتبه به هر شهر عزيمت و از آن مراجعت نمايد.

متأسفانه مدل تخصيص منابع موجود در فوق مناسب براي حل مسئله فروشنده سيار نيست زيرا تكنيك حل مسائل تخصيص منابع براي حل مسئله موجود ممكن است منجر به ايجاد راه حل‌هاي غير عملي براي آن بشود. به طور مثال اگر روش تخصيص منابع را براي حل يك مسئله فروشنده سيار با شش نقطه مسافرت به كار ببريم، راه حل حاصل ممكن است به جاي ارائه يك خط سير واحد براي مسافرت مثلاً دو خط سير مجزا را (بدون داشتن هيچ ارتباطي با يكديگر) ارائه دهد، يعني داشته باشيم:

اين راه حل براي مسئله عملي نيست زيرا فروشنده بايد داراي يك خط سير واحد براي مسافرت به شهرستانها و سپس برگشت به نقطه مبدأ اوليه باشد.

از اين رو مدل مسئله فروشنده سيار نياز به محدوديت‌هاي اضافه‌تري دارد تا بدان وسيله بتوان وجود يك خط سير واحد مسافرت را براي راه حل نهايي آن تضمين نمود. محدوديت‌هاي اضافي را براي يك مسئله مي‌توان با استفاده از روشهاي گوناگون بوجود آورد. بطور مثال محدوديت لازم براي جلوگيري از ايجاد دو خط سير مجزا در مسئله فوق را ممكن است به صورت ذيل تنظيم كرد:

x₁₄ + x₁₅ + x₁₆ + x₂₄ + x₂₅ + x₂₆ + x₃₄ + x₃₅ + x₃₆ ≥ 1                                          

اين نامعادله تضمين مي‌نمايد كه اقلاً يك مسير مسافرت نيز شهرهاي 1 و 2 و 3 را به شهرهاي 4 و5 و 6 متصل خواهد نمود.

نكته قابل توجه آن است كه محدوديتهاي اضافي لازم براي يك مسئله فروشنده سيار باn  نقطه ملاقات ممكن است برابر با (2ⁿ - 1) باشد، بنابراين ملاحظه مي‌شود كه برنامه‌ريزي با اعداد صحيح براي يك مسئله فروشنده سيار مي‌تواند بسيار طويل شده و حل آن نتيجتاً مشكل خواهد بود.

در اينجا مدلسازي را براي يك مسئله ساده با سه نقطه مسافرت مورد تشريح قرار مي‌دهيم:

فرض مي‌نماييم يك فروشنده واقع در تهران بايد در مي‌نيمم زمان ممكن به شيراز و كرمانشاه مسافرت نموده و سپس به تهران مراجعت نمايد. شبكه اين مسافرت بقرار زير مفروض است:

                                                  شيراز

                    كرمانشاه                                              تهران

(اعداد موجود در روي هر مسير نشان‌دهنده زمان لازم به ساعت براي مسافرت در طول آن مسير است) گر چه حل اين مسئله را به علت سادگي آن (n ₌ 3) مي‌توان بدون داشتن يك مدل رياضي دنبال نمود. لكن مدلسازي موجود در ذيل براي اين مسئله مي‌تواند يك راهنما براي مدلسازي مسائل پيچيده‌تر باشد.

اگرx_ij  نشان‌دهنده مسافرت فروشنده مزبور از شهر iام به شهر jام باشد، داريم:

(i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3)                                                                        

اگر مسافرت در طول  i→jمسير انجام شود: 1=

                                                      x_ij            

اگر مسافرت در طول مسيرi→jانجام نشود: 0=

به طور مثال اگرx_{12 =}1بشود بدان مفهوم خواهد بود كه فروشنده فوق‌الذكر اولين مسافرت خود را از تهران به شيراز انجام خواهد داد. ضمناً شش متغير (به ازاء شش مسير) در اين مسئله وجود دارد كه فقط ارزش سه متغير از آنها در هر راه حل عملي مي‌تواند برابر واحد شود.

تابع هدف براي اين مسئله بدين قرار خواهد بود:

Min C = 12x₁₂ + 15x₂₃ + 12x₃₁ + 11x₁₃ + 13x₃₂ + 13x₂₁                                      

محدوديت‌هاي اين مدل را به طريق زير تشكيل مي‌دهيم:

الف- چون براي عزيمت به هر شهرستان فقط از يك مسير منتهي به آن استفاده خواهد شد داريم:

(j = 1, 2, 3; i≠ j)                               

                                          (j = 1: براي)                  x₂₁ + x₃₁ = 1:يعني

                                          (j = 2: براي)  x₁₂ + x₃₂  = 1               

                                          (j = 3: براي)x₁₃ + x₂₃ = 1               

ب- چون براي خارج شدن از هر شهرستان فقط يك مسير خروجي از آن مي‌تواند مورد انتخاب فروشنده قرار بگيرد، داريم:

(i = 1, 2, 3; j ≠ i)                                                      

(i ₌ 1: براي)                                                          x₁₂ + x₁₃ = 1: يعني

(i ₌ 1: براي)x₂₁ + x₂₃ = 1                                                         

(i ₌ 1: براي)                                                               x₃₁ + x₃₂ = 1

ج- محدوديت‌هاي اضافي براي اين مسئله به قرار زير مي‌باشند:

(1)- تواتر مسيرهاي حركت براي مسافرت به هر شهرستان بايد به طور منطقي رعايت گردد. به طور مثال اگر اولين مسافرت فروشنده مزبور از تهران به شيراز انجام بگيرد (يعني x_{12 =} 1) بنابراين دومين مسافرت او حتماً بايد از شيراز به كرمانشاه باشد (يعني خواهيم داشت x_{23 =} 1) از اين رو داريم:x₁₂ = x₂₃  هم چنين اگر مسافرت دوم از كرمانشاه به شيراز انجام گيرد (يعني:x_{23 =} 1) بايد مسافرت سوم فروشنده از شيراز به تهران باشد (يعنيx_{21 =} 1) و خواهيم داشت:x_{32 =} x₂₁از اين رو داريم:

محدوديت‌هاي اضافي براي شهرستان   x₁₂ = x₂₃

               شيراز                         x₃₂ = x₂₁

محدوديت‌هاي اضافي براي شهرستان     x₁₃ = x₃₂

             كرمانشاه                         x₂₃ = x₃₁

ملاحظه مي‌شود كه به صورت يك قاعده كلي اگر مسافرت kام فروشنده به يك شهرستان مفروض منتهي شود،‌مسافرت (k+1)ام آن فروشنده بايد از آن شهرستان شروع گردد.

(2)- براي مسافرت شماره kام فروشنده مزبور فقط يك مسير مسافرت مي‌تواند توسط او انتخاب شود. به طور مثال مسافرت يكم فروشنده فوق‌الذكر ممكن است از تهران به شيراز (1→2) و يا از تهران به كرمانشاه (1→3) باشد ولكن نمي‌تواند براي هر دو مسير منظور شود، يعني داريمx₁₂ + x₁₃ = 1بدان مفهوم كه فقط يكي از مسيرهاي1→2و يا 1→3مي‌تواند براي مسافرت يكم فروشنده انتخاب شود. همچنين مسافرت دوم فروشنده ممكن است از شيراز به كرمانشاه و يا از كرمانشاه به شيراز باشد، از اين رو داريم: x₂₃ + x₃₂ = 1

در مجموع خواهيم داشت:

(براي مسافرت يكم)x₁₂ + x₁₃ = 1                                   

(براي مسافرت دوم)x₂₃ + x₃₂ = 1                                   

(براي مسافرت سوم)                                                                               x₃₁ + x₂₁ = 1

(براي شبكه‌هاي گسترده‌تر به منظور نمايش يك مسئله مي‌توان شماره (kام) مسافرت فروشنده را از نظر سهولت در محاسبات براي متغيرهاي آن نيز منظور نمود، يعني خواهيم داشت.k_ijkبه مفهوم آنكه فروشنده مورد نظر مسافرت kام خود را از مسيرi→j  به انجام مي‌رساند) ملاحظه مي‌شود كه هفت محدوديت اضافي براي اين مسئله به وجود آمده است. (2ⁿ – 1 = 2³ – 1= 7)، لكن محدوديت‌هايx₁₂ + x₁₃ = 1وx₃₁+x₂₁ =1نيز تكراري مي‌باشند.

بنابراين مدل برنامه‌ريزي با اعداد صحيح براي اين مثال به قرار زير خواهد بود:

Min C = 12x₁₂ + 15x₂₃ + 12x₃₁ + 11x₁₃ + 13x₃₂ + 13x₂₁                                  

 x₂₁ + x₃₁ = 1                                                                                    : به شرطي كه

x₁₂ + x₃₂ = 1                                                                                   

x₁₃ + x₂₃ = 1                                                                                    

x₁₂ + x₁₃ = 1                              x₂₃ – x₂₁ = 0                                  

x₂₁ + x₂₃ = 1                              x₁₃ + x₃₂ = 0                                  

x₁₂ – x₂₃ = 0                              x₂₃ + x₃₂ = 1                                  

x_ij = 0, 1                              

(i = 1, 2, 3; j= 1, 2 , 3)                    

مسئله فروشنده سيار را مي‌توان به عنوان يك الگو براي مدلسازي بسياري از مسائل برنامه‌ريزي مورد استفاده قرار داد، به مثال 6 توجه نماييد.

ب- مثالهايي چند از مسائلي كه از نظر ماهيت و مدلسازي با مثالهاي بند الف تفاوت دارند.

مثال 1- كارخانه بخاري‌سازي ارج بايد هر ماهه موجودي دو انبار خود را به دو فروشگاه بزرگ ارسال دارد. به نحوي كه موجودي ماهيانه انبارها و تقاضاي ماهيانه فروشگاه‌هاي مورد نظر به قرار زير است:

مديريت كارخانه ارج براي حمل بخاري از يك شركت كاميون‌داري واقع در تهران استفاده مي‌نمايد به طوري كه اين شركت مبلغ ثابتي را جداگانه به ازاي ارسال هر كاميون به هر يك از فروشگاه‌ها دريافت مي‌دارد و مبلغ اضافه‌تري را بابت حمل هر بخاري نيز مطالبه خواهد نمود (ضمناً هر كاميون حداكثر 80 بخاري را حمل نموده و فقط به يك فروشگاه عزيمت مي‌نمايد.)

جدول هزينه ارسال بخاري (به تومان) توسط هر كاميون به قرار زير است:

مديريت كارخانه ارج نياز به يك طرح توزيع دارد به طوري كه مجموع هزينه ارسال بخاري از انبارها به دو فروشگاه مزبور به حداقل ممكن كاهش يابد.

ملاحظه مي‌شود كه اين مسئله به علت دارا بودن هزينه ثابت (علاوه بر هزينه ارسال واحد كالا) با مدل كلاسيك حمل و نقل تطبيق نداشته و آن را نمي‌توان بر اساس يك برنامه‌ريزي عاديL. Pنيز مدلسازي نمود. براي مدلسازي اين مسئله، فرض مي‌نماييم:

(i = 1 , 2 ; j = 1, 2) تعداد بخاري ارسالي از انبار iام به مشتري jام =xij

 X_ij > 0اگر=1 →

                                 t_ij

 X_ij = 0اگر=0 →

مدلسازي اين مسئله به صورت يك برنامه‌ريزي با اعداد صحيح به قرار زير خواهد بود:

Min C = (300 t₁₁ + x₁₁) + (350 t₁₂ + 4 x₁₂) + (150 t₂₁ + 2 x₂₁) + (400 t₂₂ + 3 x₂₂)

موجودي انبار يكم:                                         x₁₁ + x₁₂ = 60: به شرطي كه

موجودي انبار دوم:  x₂₁ + x₂₂ = 70                                         

تقاضاي فروشگاه يكم:x₁₁ + x₂₁ = 80                                     

تقاضاي فروشگاه دوم:x₁₂ + x₂₂ = 50                                     

 x_ij > 0                                                            اگر= 1 →

                                                                                     t_ij

 x_ij = 0                                                             اگر= 0 →

 x_ij > 0اگر= 1 →

لكن شرط                  t_ij، بايد تبديل به محدوديتي گردد كه در مدل

 x_ij = 0اگر= 0 →

فوق قابل محاسبه باشد. اين محدوديت چنانچه u_ijبرابر با حد بالايx_ij  باشد نيز عبارت است از:

x_ij ≤ u_ij t_ij                                                                                                         

اين محدوديت براي يك راه حل عملي به ازاءx_ij > 0  بايد دارايt_ij = 1باشد. زيرا در غير اين صورت شرايط محدوديت مزبور تأمين نخواهد بود. البته به ازاي اين محدوديت برايt_ij = 1ممكن استx_ij = 0  گردد، لكن مي‌نيمم كردن تابع هدف با استفاده از روش حل يك برنامه‌ريزي با اعداد صحيح براي مسئله فوق موجب خواهد شد كه به ازاءx_ij = 0 حتماًt_ij = 0 بشود.

از اين رو مدل برنامه‌ريزي با اعداد صحيح براي اين مثال به قرار زير است:

Min C = 300t₁₁ + x₁₁ + 350t₁₂ + 4x₁₂ + 150t₂₁ + 2x₂₁ + 400t₂₂ + 3x₂₂                    

 x₁₁ + x₁₂ = 60                                                                                : به شرطي كه

x₂₁ + x₂₂ = 70                                                                               

x₁₁ + x₂₁ = 80                                                                               

x₁₂ + x₂₂ = 50                                                                                

x₁₁ ≤ 60t_{11                                                               &nbs}